不定积分公式总结

 时间:2017-05-20 09:15:47 贡献者:雨林沐风sky

导读:2(这是有理函数分解后一种形式的积分的求法,大家可以回顾课本恢复记忆)三、普遍方法 (一)换元积分法:第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力, 即观察出某个函数的

考研数学不定积分公式 换元积分
考研数学不定积分公式 换元积分

不定积分公式总结

2(这是有理函数分解后一种形式的积分的求法,大家可以回顾课本恢复记忆)三、普遍方法 (一)换元积分法:第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力, 即观察出某个函数的导数,这就要求我们熟悉常见 函数的导数。

首先我们来看一下最常见的一类有理函数的例子 x 例 1: ∫ dx √5 + x − x 2 注意到分母根号下为二次,其导数为一次,而分子正好就是一次,通过凑微分和 配方可以得到解决。

∫ x √5 + x − x 2 dx = ∫ 1 1 − 2 (−2x + 1) + 2 √5 + x − x 2 dx1 d(5 + x − x 2 ) 1 1 =− ∫ + ∫ dx 2 2 √5 + x − x 2 √5 + x − x 2 1 = −√5 + x − x 2 + ∫ 2 dx √(√21)2 − (x − 1)2 2 2 1 2x − 1 = −√5 + x − x 2 + arcsin( )+C 2 √21 x3 例 2: ∫ 4 dx x + x2 + 1 与例 1 类似,我们有: 1 1 (4x 3 + 2x) − x x3 4 2 dx ∫ 4 dx = ∫ x + x2 + 1 x4 + x2 + 1 1 d (x 2 + 2) 1 d(x 4 + x 2 + 1) 1 = ∫ 4 − ∫ 2 后面套公式就好啦 2 4 x + x2 + 1 4 1 √3 (x 2 + 2) + ( 2 ) dx 1 + sin2 x dx 1 dx d(tan x) ∫ =∫ =∫ cos2 x + 2sin2 x cos 2 x 1 + 2tan2 x 1 + 2tan2 x 例 3: ∫

不定积分公式总结

不定积分公式总结

4令一种解法: ∫ cos4 t dt = ∫ cos2 t(1 − sin2 t) dt = ∫ cos 2 t dt − ∫ cos2 t sin2 tdt 利用倍角公式可以解出。

(2)倒代换,经常用在分母多项式次数较高的情况下 √a2 − x 2 1 例: ∫ dx ,令 x = ,容易求出原函数 x4 t(二)分部积分法∫ μdν = μν − ∫ νdμ 应用分部积分法时,需要把被积函数看作两个因式 μ 及 dν 之积,如何 选取这两者是很关键的,选取不当,将使积分愈化愈繁. 积分时应注意 dν 比较好积,同时 μ 的选取应使其倒数比 μ 简单,两者应兼顾。

例: ∫ xearctan x3 dx=earctan xx √1 + x 2 1−∫earctan x(1 + x 2 )2 =earctan x(1 + x 2 )233 dxx √1 + x 2 x−1 √1 + x 2− [earctan x√1 + x 2 xearctan x3 dx−∫−xearctan x (1 + x 2 )2dx]= earctan x−∫(1 + x 2 )2 x−1 2√1 + x 2则: ∫xearctan x (1 +x 2 )23 dx =earctan x + C这个函数就有多种拆分方法,需要我们多尝试几次才能解出,并且用到了 轮换,应注意。

其实 ∫ sin(ln x) dx 也用到了轮换,详情请查阅教材 165 页。

一般情况下,被积函数形如eax sin bx ,eax cos bx, Pm (x)eax ,Pm (x) sin bx , Pm (x) cos bx ,Pm (x)(ln x)n ,Pm (x) arctan x , ⋯ 就可以尝试分部积分法轻松 求得原函数,其中Pm (x)表示 m 次多项式。

不定积分公式总结

不定积分公式总结

不定积分公式总结

 
 

微信扫一扫 关注公众号
红包 网赚方法 福利每天送